Đại diện đại số nói dối – Wikipedia

Trong lĩnh vực toán học của lý thuyết biểu diễn, đại diện Đại diện Lie hoặc đại diện cho đại số Lie là một cách viết đại số Lie như một tập hợp các ma trận một không gian vectơ) theo cách mà khung Lie được đưa ra bởi cổ góp. Trong ngôn ngữ vật lý, người ta tìm kiếm một không gian vectơ

V { displaystyle V}

cùng với một bộ sưu tập các toán tử trên

V { displaystyle V}

thỏa mãn một số tập hợp quan hệ giao hoán cố định, chẳng hạn như các mối quan hệ được thỏa mãn bởi các toán tử xung góc .

Khái niệm này có liên quan chặt chẽ với khái niệm của một nhóm Lie. Nói một cách đơn giản, các đại diện của đại số Lie là hình thức đại diện khác biệt của các nhóm Lie, trong khi các đại diện của vỏ bọc phổ quát của một nhóm Lie là hình thức tích hợp của các đại diện Lie của nó.

Trong nghiên cứu về biểu diễn của đại số Lie, một vòng đặc biệt, được gọi là đại số bao bọc phổ quát, liên quan đến đại số Lie đóng vai trò quan trọng. Tính phổ quát của vòng này nói rằng phạm trù biểu diễn của đại số Lie giống như phạm trù mô-đun so với đại số bao bọc của nó.

Định nghĩa chính thức [ chỉnh sửa ]

Hãy

g { displaystyle { mathfrak {g}}}

V { displaystyle V}

là một không gian vectơ. Chúng tôi để

g l ( V ) { displaystyle { mathfrak {gl}} (V)}

biểu thị không gian của sự biến đổi nội sinh của

V { displaystyle V}

nghĩa là không gian của tất cả các bản đồ tuyến tính của

V ] { displaystyle V}

với chính nó. Chúng tôi thực hiện

g l ( V ) { displaystyle { mathfrak {gl}} (V)}

thành một đại số Lie với giá đỡ được đưa ra bởi cổ góp:

[ X Y ] = X Y [196590] – Y X { displaystyle [X,Y] = XY-YX}

. Sau đó, một đại diện của

g { displaystyle { mathfrak {g}}}

trên

V [19659003] { displaystyle V}

là một Phép đồng hình đại số nói dối

được cho là trung thành nếu là tiêm chích. [196529 cùng với một bản đồ song tuyến

g × V V { displaystyle { }} lần V đến V}

sao cho

cho tất cả x, y trong

g { displaystyle { mathfrak {g}}}

v trong V . Điều này có liên quan đến định nghĩa trước đó bằng cách đặt x v = ρ x (v).

Ví dụ [ chỉnh sửa ]

Các đại diện điều chỉnh [ chỉnh sửa ]

Ví dụ cơ bản nhất về đại diện Lie là đại diện của đại diện Lie một đại số Lie

g { displaystyle { mathfrak {g}}}

trên chính nó: